Oson Permutatsiyalar va Kombinatsiyalar

Men doimo "almashtirish" va "kombinatsiya" ni chalkashtirib kelganman - qaysi biri?

Yodda saqlashningoson usuli: almashtirish juda murakkab eshitiladi, shunday emasmi? Va shunday. O'zgarishlar bilan har bir kichik tafsilot muhim ahamiyatga ega. Elis, Bob va Charli Charli, Bob va Elisdan farq qiladi (bu erga do'stlaringizning ismlarini kiriting).

Boshqa tomondan, kombinatsiyalar juda oson. Tafsilotlar muhim emas. Elis, Bob va Charli xuddi Charli, Bob va Elis bilan bir xil.

Permutatsiyalar ro'yxatlar uchun (buyurtma muhim) va kombinatsiyalar guruhlar uchun (buyurtma muhim emas).

Bilasizmi, "kombinatsiyalashgan qulf" haqiqatan ham "permutatsion qulf" deb nomlanishi kerak. Raqamlarni masalalarga qo'yish tartibi.

Haqiqiy "kombinatsiyalangan qulf" 10-17-23 va 23-17-10-ni to'g'ri deb qabul qiladi.

Permutatsiyalar: tukli tafsilotlar

Keling, almashtirishlarni yoki biron bir narsani bajarishning barcha mumkin bo'lgan usullaridanboshlaymiz . Biz shimlarning "almashtirish" degan iborasini ishlatmoqdamiz, shuning uchun har bir narsaning tartibi, shu jumladan, so'nggi tafsilotlar haqida g'amxo'rlik qilamiz. Aytaylik, bizda 8 kishi bor:

Sakkizta ishtirokchi orasida 1, 2 va 3-o'rinlarni qancha usul bilan berishimiz mumkin? (Oltin / kumush / bronza)

Ushbu medallarni topshirish tartibi muhim bo'lganligi sababli biz almashtirishlardan foydalanamiz. Qanday qilib u buziladi:

  • Oltin medal: 8 ta tanlov: ABCDEFGH (Men qanday qilib ismlarni harflar bilan uyg'unlashtirganman, a?). Aytaylik, A oltinni yutadi.
  • Kumush medal: 7 ta tanlov: BCDEFG H. Aytaylik, B kumushni yutdi.
  • Bronza medali: 6 ta tanlov: CDEFG H. Aytaylik ... C bronzani qo'lga kiritdi.

Biz g'alaba qozonish uchun ma'lum odamlarni tanladik, lekin tafsilotlar ahamiyatsiz emas: avval bizda 8 ta tanlov bor edi, keyin 7 ta, keyin 6 ta variant. Umumiy variantlar soni $ 8 * 7 * 6 = 336 $ edi.

Keling, tafsilotlarni ko'rib chiqaylik. Biz 8 kishidan 3 kishiga buyurtma berishimiz kerak edi. Buning uchun biz barcha variantlardan boshladik (8), keyin ularni bittadan (7, keyin 6) medallarimiz tugamaguncha olib ketdik.

Biz faktorial ekanligini bilamiz:

Afsuski, bu juda ko'p narsani qiladi! Biz faqat $ 8 * 7 * 6 $ istaymiz. Qanday qilib biz faktorialni 5da "to'xtatishimiz" mumkin?

Bu erda permutatsiyalar salqinlashadi: $ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 $ dan qanday xalos bo'lishni xohlayotganimizga e'tibor bering. Buning boshqa nomi nima? 5 faktorial!

Shunday qilib, agar biz 8! / 5 qilsak! biz olamiz:

Va nima uchun biz 5 raqamidan foydalandik? Biz 8 medalni qo'lga kiritganimizdan keyin qolgan edi, shuning uchun buni yozishning eng yaxshi usuli quyidagicha bo'ladi:

qaerda 8! / (8-3)! bu shunchaki "8 ning dastlabki 3 raqamidan foydalaning!" degan ajoyib uslub. Agar bizda jami $ n $element bo'lsa va $ k $ni ma'lum tartibda olishni xohlasak, quyidagilarni olamiz:

Va bu ajoyib almashtirish formulasi: Sizda $ n $element bor va $ k $buyurtma berish usullarining sonini topishni xohlaysiz :

Kombinatsiyalar!

Kombinatsiyalar oson. Buyurtma muhim emas. Siz uni aralashtirishingiz mumkin va u xuddi shunday ko'rinadi. Aytaylik, men arzon sotuvchiman va alohida oltin, kumush va bronza medallarini sotib olishga qodir emasman. Aslida, men faqat bo'sh qalay qutilarga qodirman.

8 kishiga 3 ta qalay qutini necha usul bilan berishim mumkin?

Xo'sh, bu holda biz odamlarni tanlash tartibi muhim emas. Agar men Elis, Bob va undan keyin Charliga konserva bersam, bu xuddi Charli, Elis va keyin Bobga berish bilan barobar. Qanday bo'lmasin, ular bir xil darajada hafsalasi pir bo'lgan.

Bu qiziqarli fikrni keltirib chiqarmoqda - bu erda bizda bir nechta ishchilar bor. Elis Bob Charli = Charli Bob Elis. Bir lahzaga, keling, 3 kishini qanday qilib qayta tuzishimiz mumkinligini aniqlaylik.

Xo'sh, bizda birinchi odam uchun 3 ta, ikkinchisiga uchun 2 ta va oxirgi uchun faqat bitta tanlov mavjud. Shunday qilib, bizda 3 kishini qayta tartibga solish uchun $ 3 * 2 * 1 $ usullari mavjud.

Bir daqiqa kutib turing ... bu biroz o'zgarishga o'xshaydi! Siz meni aldadingiz!

Haqiqatan ham men qildim. Agar N odamlar bor va siz uchun mavjud qancha tadbirlar bilish bo'lsangiz , barchaularga, u faqat N factorial yoki N-ku!

Shunday qilib, agar bizda berish uchun 3 ta qalay quti bo'lsa, u erda 3 ta! yoki biz tanlagan har bir tanlov uchun 6 ta o'zgarish. Agar bizda qancha kombinatsiyalar borligini bilmoqchi bo'lsak, biz faqatgina barcha permutatsiyalarni yaratamiz va barcha ortiqcha narsalarga bo'linamiz. Bizning holatimizda biz 336 ta almashtirishni olamiz (yuqoridan) va biz har bir almashtirish uchun 6 ta ortiqcha qismga bo'linamiz va 336/6 = 56 ni olamiz.

Umumiy formula

bu degani “n k dan odam tanlash va k ga bo'lishning barcha usullarini toping! variantlar ”. Buni yozib, biz birlashma formulasiniyoki $ n $ to'plamidan $ k $ elementlarini birlashtirish usullarining sonini olamiz :

Ba'zan C (n, k) quyidagicha yoziladi:

Bir nechta misollar

Bu erda bir nechta misollar mavjud (buyurtma muhim emas) almashtirishlardan (buyurtma muhim).

Kombinatsiya: 10 kishilik guruhdan 3 kishilik jamoani tanlash. $ C (10,3) = 10! / (7! * 3!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 $.

Permutatsiya: Prezident, VP va Waterboyni 10 kishilik guruhdan tanlash. $ P (10,3) = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720 $.

Kombinatsiya: 10. C (10,3) = 120 menyusidan 3 ta shirinlikni tanlash.

Permutatsiya: 10. P (10,3) = 720 gacha bo'lgan menyudan o'zingizning sevimli uchta shirinliklaringizni tartib bilan ro'yxatlang.

Formulalarni yodlamang, nima uchun ishlashini tushunib oling. Kombinatsiyalar permutatsiyaga qaraganda sodda ko'rinadi va ular ham shunday. Sizda almashtirishlarga qaraganda kamroq kombinatsiyalar mavjud.