Yaxtzee ehtimoli

Santa bolalarimga Rojdestvo uchun Yahtzey o'yinini olib keldi. Biz uni kechqurun juda ko'p o'ynadik. Yahtzee dumalab ketganda, mening bolalarim yovvoyi bo'lib ketadi.

Bu blogda Yahtzee -niishga tushirish ehtimolini ko'rib chiqaman .

Yahtzee-bu olti qirrali beshta zar bilan o'ynaladigan o'yin. O'yinchi zarlarni siljitadi, natijalarni tekshiradi va qolgan qismini yana aylantirib, zarlarni xohlaganicha ushlab turishi mumkin. Ikkinchi turdan so'ng, jarayon takrorlanadi (agar xohlasangiz, o'yinchi birinchi raundda o'tkazilgan zarlarni yig'ib olishi mumkin). Uchta rulondan so'ng, zarlar turli toifalarga muvofiq baholanadi. Yahtzee (50 ball to'plagan), barcha beshta zarni bir xil qilish orqali erishiladi.

Taxminlar

Biz o'yinchini aqlli o'yinchi deb hisoblaymiz va har bir qaror qabul qilishda eng aqlli variantni qaytaradi va ushlab turadi.

Yahtzee -ni bitta rulonda olish ehtimolini hisoblash oson. Besh zar bor, shuning uchun birinchi o'lik aylansa, ikkinchi o'lim bir xil songa ega bo'lish ehtimoli 1/6 ga teng. Agar shunday bo'ladigan bo'lsa, unda uchinchi o'lim bir xil bo'lishi ehtimolligi 1/6, to'rtinchisi va beshinchisi.

Shunday qilib, bitta rulonda Yahtsening ehtimoli 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.

Biroq, uchta rulo va ushlab turish bilan ishlar biroz murakkablashadi. Har bir burilish paytida biz zarlar sonini o'zgartirishimiz mumkin va ko'plab kombinatsiyalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Har bir rulonning boshidagi zarlarning holati zarlarning qanday o'ralganligidan mustaqil bo'lganligi sababli, bu mening eng sevimli vositalarimdan biri - Markov zanjirini(bu haqda ko'proq ma'lumot olish uchun CandyLand-dagi avvalgi yozuvlarimga qarang) ochish uchun ajoyib imkoniyat. , va kanallar va narvonlar).

Kombinatronika

Biroq, Markov zanjiriga kirishdan oldin, zar birikmalarining turli xil usullarini ko'rib chiqish bizga foyda keltiradi. Ushbu mashq o'tish matritsasini yaratishni ancha soddalashtiradi (menga ishoning). Qani boshladik …

2 zar

Bu arzimas holat. Ikkita zarni ag'darish uchun faqat ikkita naqsh mavjud. Ular mos keladi yoki mos kelmaydi. Ikki zarning ikkinchisining birinchisiga mos kelishining 1/6 imkoniyati bor va aksincha, unga mos kelmasligi uchun 5/6 imkoniyat bor. Albatta, ehtimolliklar 1 ga qo'shilishi kerak (ikkita hodisadan biri bo'lishi kerak).

Bunga qarashning yana bir usuli - ikkita zarni ag'darish uchun 36 ta kombinatsiya mavjud. Bu kombinatsiyalarning oltitasida , , , , , raqamlari bir xil va bu kombinatsiyalarning 30 tasida , zarlar boshqacha.

Ushbu natijalar yuqoridagi rasmda grafik tarzda ko'rsatilgan. Ikkala zarning bir xil bo'lish ehtimoli 6/36 mavjud , va 30/36 imkoniyat ular har xil bo'ladi, sifatida ifodalanadi

3 zar

Bu biroz murakkablashadi, lekin unchalik emas. Bu erda uchta zar uchun natijaning uchta mumkin ta'mi bor: ular hammasi bir xil, hammasi boshqacha, yoki bitta raqamdan ikkitasi va boshqasidan bo'ladi. Uchta zarni ag'darishning 216 ta yo'li mavjud (6 x 6 x 6).

Ularning hammasi bir xil bo'lish ehtimolini osonlikcha hisoblashimiz mumkin, chunki 1/6 x 1/6 = 1/36 (Ikkinchi o'lim birinchi 1 marta 6 ga, uchinchisi esa yana 6 marta 1 marta mos keladi) ).

Shu bilan bir qatorda, biz tasavvur qilishimiz mumkinki, zarlar tushishi mumkin bo'lgan 216 usulning bir xil bo'lganida oltita mumkin bo'lgan yo'l bor: , , , , , .

Ularning barchasi boshqacha bo'lish ehtimolini quyidagi mantiq yordamida hisoblash mumkin: Birinchi o'lim istagan narsasi bo'lishi mumkin, keyin ikkinchi o'lim uchun birinchi o'lim bilan bir xil sonda bo'lmaslik ehtimoli 5/6. Va nihoyat, uchinchi o'lim dastlabki ikkitasi uchun har xil bo'lishining 4/6 ehtimoli bor. Shunday qilib, barcha zarlarning har xil bo'lishi ehtimoli 5/6 x 4/6 = 20/36 ga teng, uni 120/216 gacha soddalashtirish mumkin. Uchta zar ham farq qiladigan 216 mumkin bo'lgan natijalarning 120 ta kombinatsiyasi mavjud .

Uch zar zarbasi uchun 1,0 ga qadar qo'shilishi kerak bo'lgan barcha ehtimolliklar yig'indisidan ikkitasining bir xil bo'lish ehtimoli borligini bilamiz. 90/216 (bu 1 1 6/216 120/216).

(Agar siz bunga o'zingizni ishontirmoqchi bo'lsangiz, shunday o'ylab ko'ring: A bo'lishi mumkin bo'lgan oltita qiymat, B bo'lishi mumkin bo'lgan beshta qiymat va o'lishi mumkin bo'lganuchta tanlov B bo'lishi mumkin. Bu 6 x 5 x 3 = 216 dan 90 ta kombinatsiya).

4 zar

Hozir ishlar biroz murakkablasha boshlaydi. Ular bir xil bo'lishi mumkin, har xil, uch xil, ikkita lot, ikkita juft yoki ikki xil singletonli juft.

To'rtta zarni ajratishning 1296 usuli bor (6 x 6 x 6 x 6). Natijalar quyida keltirilgan:

Biz bu erda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki biz ikki barobar ko'payishni xohlamaymiz. Ikki juftlikdan iborat ikkita lotni sanashda, biz tasodifan ni ikkijuftlikdan iborat ikkitato'plam deb hisoblamasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak . paqir, chunki u haqiqatan ham to'rt xilva ichida bo'lishi kerak chelak Agar biz ikki marta hisoblasak, ehtimolliklar 1,0 dan katta bo'ladi!

Yuqoridagi jadvalni olish turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Sizlardan kim universitetda matematikani o'qigan bo'lsa, almashtirishni hisoblash uchun binomial kengayishga erishishi mumkin. Shu bilan bir qatorda, biz tavakkalchilikni tahlil qilish sahifasida muhokama qilganimizdek, kombinatsiyalar soni shunchalik kichikki (atigi 1296), shuning uchun siz koddagi barcha kombinatsiyalarni qo'pol kuch bilan ishlatib, ularni sanashingiz mumkin.

Raqamlar to'g'ri ekanligiga o'zingizni ishontirish uchun, bu raqamlarni chiqarish orqali ishlash - yaxshi aqliy mashq. Masalan 1/6 x 1/6 x 1/6, ikkinchi, uchinchi va to'rtta qolip birinchisiga to'g'ri kelishi ehtimoli uchun. (Shu bilan bir qatorda fikrlash, to'rtta turni olishning oltita usuli bor = 6/1296).

Uchtasi uchun A bo'lishi mumkin bo'lgan oltita mumkin bo'lgan raqamlar va B bo'lishi mumkin bo'lgan beshta raqamlar va B zarlari uchun to'rtta joy, bu 6 x 5 x 4 kombinatsiyasi = 120/1296.

Hamma zarlar boshqacha bo'lishi uchun Ikkinchi zar birinchi zarbadan 5/6, uchinchisi esa 4/6, to'rtinchisi esa 3/6 imkoniyatga ega. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.

Qiziqarli eslatma - Bu erda, to'rtta zarni siljitish paytida, ehtimol, siz juftlik olasiz va 72,2% dan katta ehtimollik bilan sizda kamida juftlik bo'ladi (720 + 90 + 120 + 6). )/ 1296

5 zar

Endi ishlar biroz band bo'lmoqda! Besh zar uchun 7776 ta kombinatsiya mavjud. Natijalar quyida ko'rsatilgan. Qisqartirish uchun men hammasini bu erda keltirmayman (balki kelajakda blog postida) va men Markov zanjirigaqaytishimiz uchun natijalarni ko'rsataman .

Qiziqarli Eslatma bir dumalab ehtimoli FullHousebir SUM 300/7776 hisoblanadi cf.Faqat 150/7776 da to'rt xilnarsa. Bizning qoidalarimizga ko'ra, to'liq uy 25 ball to'playdi va (ko'pi bilan) to'rttasi 30 ball to'plashi mumkin (barcha oltilik Yahtsi bonusi hisobga olinmaydi), shuning uchun to'liq uy osonlikcha ochko yig'ish, ikki baravar osonroq to'rt turdagi olish!

Qiziqarli eslatma five Besh zar bilan 7056/7776 sizning birinchi to'plamingizda juftlik yoki undan ham yaxshiroq bo'lish ehtimoli bor (90,7%)

Markov sahifasiga qaytish

Bizning Markov tahlilimizni o'tkazish uchun har bir holat o'rtasida harakatlanish ehtimolini belgilaydigan O'tish matritsasiniyaratishimiz kerak .

Shtatlar sifatida, men to'plamdagi mos keladigan zarlarsonini tanlayman , shuning uchun bizda 5 ta holat bor: 1, 2, 3, 4, 5 (Bu erda "1" mos zarlar singl sifatida tasvirlanishi mumkin) . Natijada 25 elementli matritsa paydo bo'ladi.

Bizning matritsamiz tabiatan yuqori uchburchak bo'ladi (biz aqlli o'yinchini taxmin qildik, agar uchta turdagirulon bo'lsa, biz o'yinchi olish uchun bu qismni qayta aylantirilishini taklif qilmaymiz. Yahtzee uchun!). O'tish matritsasi har qanday holatdan bir xil holatga yoki undan yuqori holatga o'tish ehtimolini ko'rsatadi.

Mana o'tish matritsasi. Biz har bir manzilni '' ?'ustun raqami bilan ko'rsatilgan holat o'rtasida satr raqami bilan ko'rsatilgan holatga o'tish ehtimoli bilan. (Boshqa barcha joylar nolga teng ehtimolga ega). Qani boshladik …

Dastlabki bir nechta yozuvlarni to'ldirish oson. 5 -holatdan 5 -holatga o'tish ehtimoli 1,0 ga teng. Yahtzee -ni qo'lga kiritganimizda, biz uni saqlab qolamiz va boshqa zarlarni tashlamaymiz, shuning uchun 100% ishonch bor. bu holatda saqlayman!

Agar bizda hozirda mos keladigan 4 ta zar bo'lsa, 1/6 imkoniyat bor, biz uni to'g'ri raqamni 5 ga aylantiramiz va shunga mos ravishda 4 -holatda qolishning 5/6 qismi.

O'tish matritsasining stoxastik xususiyati saqlanib qoladi, chunki ushbu matritsaning qatori 1,0 ga teng bo'ladi (Biror narsa bo'lishi kerak va u ushbu holat o'zgarishlaridan biri bo'ladi).

3-holat uchun 36 ta kombinatsiyani berib, ikki marta zarb qilish kerak. (Yuqoridagi kombinatronika bo'limini eslang).

Yahtzini yaratish uchun ikkala zarning hozirgi uchtasiga to'g'rikelishi uchun 1/36 imkoniyat bor va bu ehtimol 3-qatorda va 5-ustunda joylashgan.

25/36 imkoniyat bor, keyingi o'yinchining oxirida o'yinchi uchta turgaega bo'ladi (5/6, birinchi o'lim bilan yo'qolish ehtimoli 5/6 ikkinchisida yo'qolish ehtimoli 5/6).

Nihoyat, to'rtta turdagibitta qo'shimcha raqamni olishning 10/36 imkoniyati bor . Bu 1/6 x 5/6 va bunga ikkixil yo'l bilan erishish mumkin (yoki birinchi o'lik mos keladi, yoki ikkinchisi mos keladi).

Vaziyat biroz murakkablashmoqda, shuning uchun biz sekinlashamiz.

2-holatdan 5-holatga o'tishda, hozirgi juftlikka to'g'rikeladigan uchta zar ham kerak bo'ladi . Bu 1/216 ehtimollik bilan sodir bo'ladi (bu 1/6 x 1/6 x 1/6).

Xuddi shunday, hech narsadan (1-holat) 5-holatga o'tish, Yahtzee-ni bir marotaba siljitish bilan tengdir (chunki barcha zarlar qayta o'ralgan). Bu 1/1296, (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6) sifatida hisoblanadi.

Yana ikkita koeffitsientni to'ldirishimiz mumkin.

Agar sizga omad kulib boqsa va hech qanday mos keladigan narsa bo'lmasa (1-holat) va barcha zarlarni qayta aylantirsangiz, yana mos kelmaslik ehtimoli 120/1296 ni tashkil qiladi (bu ikkinchi o'limning mos kelmasligi uchun 5/6 imkoniyat, keyin esa Uchinchisi uchun 4/6 va to'rtinchisining 3/6 qismi, beshinchisi uchun 2/6).

Dumalab ehtimoli bir turdagi to'rtbitta SUM 150/7776 qaysi (25/1296 bo'lgan Combinatronics bo'limda Uning to'rt yuza Shu olish tomonidan hisoblab qaytib eslab:.? 1/6 x 1/6 x 1 / 6, oxirgi o'lim 5/6 ga to'g'ri kelmasa va B-ning to'plamdagi beshta joylashuvi bilan hosil bo'lishning beshta usuli mavjud. .

Agar u aniq ko'rinmasa, yuqori satrdagi ehtimolliklar (boshqa holatga mos keladigan narsadan o'zgarishi), birinchi rulonning natijalari uchun ehtimolliklardir.

Bitta rulonda uchta turdagiolish ehtimoli 250/1296 ni tashkil qiladi. Buni hisoblash biroz qiyinroq va biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu ikkita naqshning birida sodir bo'ladi va . Yuqoridagi kombinatronika bo'limiga havola qilish (esingizda bo'lsin, men bu foydali bo'lardi deb aytgandim?), Buni ko'rishimiz mumkin 300/7776 marta sodir bo'ladi ( to'liq uy) va ( uch xil) 1200/7776 yil sodir bo'ladi. Ularni birlashtirsak (ehtimol, ORdegan so'zning ehtimoli ) 1500/7776 ni olamiz, bu esa 250/1296 ga kamayadi.

Ushbu qatordagi oxirgi elementni to'ldirish uchun ( juftlikni olish), yana ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan ikkita to'plam mavjud: va . ( Bir juftva ikki juft). Yahtziga borganimiz uchun, juftliklardan birini singleton bilan birga aylantiramiz. Juftlik olish ehtimoli 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 yoki 900/1296).

Ushbu qatordagi barcha ehtimolliklar 1,0 ga (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 + 1/1296) tenglashishini bilish ham taskin topadi.

A o'tish juftuchun (davlat 2) , bir turdagi to'rt(davlat 4) ehtimoli 15/216 hisoblanadi.

O'liklardan biriga mos keladigan 1/6 imkoniyat, so'ngra boshqasiga bo'ladigan 1/6 imkoniyat, 5/6 imkoniyat bilan ko'paytiriladi va oxirgi o'lim mos kelmaydi. 5/6 zaridan qaysi biri uchta bo'lishi mumkin, shuning uchun yakuniy ehtimollik = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216.

Endi oxirgi ikkita hiyla-nayrang. Internetda ozgina o'qish, bu erda odamlar o'z hisob -kitoblarida adashib qolishadi. Murakkablik yuzaga keladi, chunki uchta zarni qayta aylantirganda, siz maqsadingiz haqida "kemaga sakrashni"xohlashingiz mumkin . Masalan, agar siz birinchi rulonda juftlik aylantirganbo'lsangiz, juftlikni ushlab tursangiz va uchta zarni qaytadan aylantirsangiz va bu uchta zar hammasi bir xil bo'lsa (lekin bu juftlik bilan bir xil emas, aks holda bu Yahtzee bo'lardi!), Keyingi rolikda siz uchtaturni saqlab qolishni va juftlikniqaytadan siljitishni xohlaysiz . Ushbu noziklik ehtimollarni o'zgartiradi.

Kelinglar, shu yo'l bilan ishlaylik Biz bir juftlikni ushlab, uchta zarni qayta aylantirdik. Bizning uchta zar kombinatronikamizdan eslaylikki, uchta zar 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216 ehtimollik bilan bir xil bo'ladi, lekin bu holatlardan birida bu raqam juftlik bilan bir xil bo'ladi ( Yahtzee ga sabab bo'ladi), shuning uchun biz bu ishni olib tashlashimiz kerak. Shunday qilib, ikkitadan uch turga o'tishimkoniyati 6/216 1/216 = 5/216.

Bir o'tish koeffisiyenti bajarish uchun juftbir qolish uchun (davlat 2) juft(davlat 2), biz faqat 5/6 x 5/6 x 5/6 (barcha uch membranani Miss bu asosiy ehtimolini, kerak va bundan kelib chiqadigan bo'lsak, biz ushbu uchta zarning bir xil bo'lishi va Yahtzee (5/216) hosil qilmasligi imkoniyatini chiqarib tashlashimiz kerak, shuning uchun ushbu element uchun yakuniy natija = 125/216 5/216 = 120/216.

Xuddi shunday, bu hiylaning teskari tomoni, 2 -juftlikholatidan 3 -chiholatga o'tish ehtimoli 3. Bu erda 2 -holatdan 3 -holatga o'tishning asosiy ehtimoli 75/216 (uchta zar tashlanadi, 1/6 o'yin ehtimoli, keyin ikkita 5/6 o'tkazib yuborish imkoniyati va uchta usul kombinatsiyasi mavjud) erishilgan 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). Ushbu 75/216 ehtimoliga yuqoridan 5/216 tasodifni qo'shishimiz kerak, chunki biz ushbu muqobil marshrut orqali uchta turgaerishdik .

Shunday qilib, o'tishholatimiz matritsasini2 holatdan 3 holatga etkazish uchun zarur bo'lgan yakuniy element 75/216 + 5/216 = 80/216.

Bu qatordagi ehtimolliklar jami 1,0 ekanligini hisoblash ham yengillikdir! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Bu bizning hisob -kitoblarning to'g'riligini tasdiqlashga yordam beradi.

Bizning o'tish matritsamiz endi yakunlandi!

Matritsani ko'paytirish

Endi biz identifikator ustuni vektorini kiritamiz va buni o'tish matritsasi bilan ko'paytiramiz. Olingan qatorlar vektorining chiqishlari zarlar bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarning taqsimlanish ehtimolini ko'rsatadi. Endi biz bu chiqishni olib, uni yana kirishsifatida ishlatishimiz mumkin va bu safar chiqish zarlar uchun ehtimollarning superpozitsiyasidir. ikkinchi rulonning oxiri. Yahtzini uchta rulonda (yoki undan oldin) olish ehtimolini olish uchun biz oxirgi marta ko'paytiramiz va yakuniy chiqish vektoridagi tashqi elementning natijasini (5-holat) o'qiymiz.

(Shu nuqtadan boshlab, men ehtimolliklarni ifodalash uchun o'nli kasrlarga/foizlarga o'tmoqdaman, chunki ishtirok etuvchi fraktsiyalar o'qish va o'qishga juda befarq).

Natijalar

Bir olish ehtimoli Yahtzeeemas 4,6029%

Chiroyli grafikalar

Agar siz Yahtzee rolini o'tkazib yuborsangiz, yana qaytadan o'tsangiz nima bo'ladi? (mening bolalarim ba'zida shunday qilishga urinishadi!) Va yana? Va yana? …

Quyida bir Yahtzee olish foizi imkoniyat ko'rsatgan bir grafigi n-rolls. X o'qi-bu rulonlarning soni, y o'qi-foiz imkoniyatini ko'rsatadi.

Asimptotlar egri chizig'i 100% ga teng va # 10 rulon bilan 50% dan oshib ketadi. Yahtzee -ni 95% ishontirish uchun sizga 23 ta rulon kerak.

Ko'pincha Yahtzening urinishini sog'inasiz. Ehtimollarning taqsimoti nima? Yahtziga otish paytida to'rtta turga qanday o'xshashsiz? Ushbu ma'lumotni 4-holat uchun Markov zanjirining chiqish vektoridan qiymatni o'qish orqali olish oson. (Siz bilan yakun olaman imkoniyat , bir turdagi to'rtuch rulon bo'lgan 24,476%, va bir turdagi Uchhisoblanadi 45,240%). Chapdagi jadvalda dastlabki 25 ta rulonning foiz taqsimoti ko'rsatilgan.

Quyida xuddi shu ma'lumotlar grafik formatda keltirilgan. E'tibor bering, 9 ta rolikdan so'ng, Yahtzee eng katta voqeaga aylanadi va juftlikyoki Singletonbilan tugash ehtimoli shov -shuvga aylanadi.

Shaxsiy jadvallar

Mana shu ma'lumotlar, lekin har bir egri chiziq o'z o'qi bo'yicha chizilgan.

Birinchi rollarda, ehtimol siz juftlikniolasiz , ammo shundan keyin shunchaki juftlik bilan yakunlanish ehtimoli tezda pasayadi. (Siz juda omadsiz bo'lishingiz kerak edi).

Bu erda barcha maqolalarning to'liq ro'yxatini topishingiz mumkin. Yangi maqolalar to'g'risida elektron pochta xabarlarini olish uchun shu erni bosing.